数学建模评价类——Topsis模型
文章目录：
一、数学建模评价类——Topsis模型
数学建模中有一类非常常见的问题：选择最优方案，被称为评价类问题。例如：携程、美团和飞猪，三个旅游平台哪个更适合新手旅游选择？苏州、杭州、南京哪个更适合端午节出游？班里哪位同学获得奖学金等等。要做出选择，首先需要知道有哪些评价指标，继续以选择旅游地为例，可以通过知网搜索相关文章or组内头脑风暴or利用网络搜索引擎资源，得到大家选择旅游地的考虑标准：风景、人文、拥挤程度等。在每个评价指标维度给方案评分，设定总分为5。“上有天堂，下有苏杭”可以认为苏州杭州的风景很好，于是给他们5分风景分，人文上南京作为六朝古都历史底蕴浓厚给5分。这类评价问题里每个方案的得分数据都是自己根据资料给出的，更适合层次分析法。而是否获得奖学金，可以根据各科成绩来筛选，数据客观存在，就可以使用下文提到的topsis方法。
TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution） 可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。TOPSIS 法是一种常用的利用 原始数据 进行综合评价的方法，其基本原理，是通过检测评价对象与 最优解、最劣解 的距离来进行排序，若评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则不为最优。其中最优解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标的最差值。以奖学金为例，假定是否获得奖学金只与语文、数学、英语这三科的成绩相关，你的成绩是80，90，100，而最好的成绩是100，100，100，最差的成绩是50，60，50。则你和最优解的距离为 ；和最劣解的距离为 。
step1：指标正向化。
具体在评价时会遇到的指标可以分成四类，①极大型指标，也称为效益型指标，数值越大越好，包括成绩、收入等②极小型指标，也称为成本型指标，数值越小越好，包括开销、死伤人数等③中间型指标，数值有一个中间的最优点，如ph值越接近7越好，血压越接近理想血压（收缩压120 mmHg,舒张压80 mmHg）越好④区间型指标，数值在一个区间内最好。如城市最优人口规模在1000到1200万之间（数字仅用来举例，无实际意义）。
根据不同类型的指标需要按照不同的公式进行正向化处理，即把所有指标转化为极大型。
极小型转化最容易，直接用max-x即可，若变量x为正数，也可直接取倒数。如开销最大是3000，x变量对应的开销为1000，转化后的值应为3000-1000=2000，或者直接取倒数为1/1000。
中间型转化公式为 以ph值为例，最优解 为7。一组数据有7，8，9三个变量，则 ， ， 。所以 。取i=2，原始数据为8，转化后位1-（8-7）/2=1/2。
区间型转化较为复杂，若{ }为一组中间型指标序列，且最佳的区间为[a,b],那么正向化的公式如下：
以人体体温为例，原始数据为35.2，35.8，36.6，37.1，37.8，38.4。最优区间为36到37，则a=36，b=37，M=max（36-35.2，38.4-37）=1.4，代入上述公式即可得到转换后的数据。
step2：正向化矩阵标准化
假设有n个要评价的对象，m个正向化的评价指标，则可以构建正向化矩阵。 为第一个对象在第二个评价指标上正向化之后的得分。
将标准化矩阵记为Z，则其中的每一个元素都等于对应矩阵X中的元素取值除以所在列元素的平方和开根号，即 。
step3：计算得分并归一化
n个评价对象，m个评价指标的标准化矩阵如下：
定义最大值为每列元素最大值的集合
定义最小值为每列元素最小值的集合
则第i个评价对象与最大值的距离为j个指标分别与最大值计算距离之后的求和：
同理，第i个评价对象与最小值的距离为j个指标分别与最小值计算距离之后的求和：
那么，第i个评价对象未归一化的得分为 ，即z与最小值的距离除以z与最大值的距离和z与最小值的距离之和。因为距离都是非负的，很明显 取值在0和1之间， 越大， 越大，即越接近最优解。
归一化之后的得分为 ,此处应满足 。
归一化和标准化本质上都是为了消去量纲的影响，结果归一化之后更容易比较大小。
得到所有方案的得分之后，建议对排序后的分数进行可视化展示，可利用excel绘制柱形图。
按照上图所示，方案5的得分最高，所以应选择方案5。
上述过程为基本topsis模型，该模型默认所有指标的权重相同，可以利用层次分析法或熵权法确定指标权重，构建带权重的topsis模型。
资料来源:
以上资料来源于b站（up主:数学建模学习交流）。
感谢up主的整理，视频讲述很详细，适合新手入门哦~
二、层次分析法和topsis综合评价法的区别
（Analytic Hierarchy Process ，简称 AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于上世纪 70 年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法
一、步骤
1、建立递阶层次结构模型
2、构造出各层次中的所有判断矩阵
3、层次单排序及一致性检验
4、层次总排序及一致性检验
二、递阶层次的建立与特点
1、分层：
（1）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标和理想结果。
（2）中间层：这一层次中包含为了实现目标所涉及的中间环节，主要是一些考虑指标和一些准则。
（3）最底层：这一层次中包含为了实现目标可供选择的各种方案。
2、注意点：
一般不要1层不要超过9个因素
3、一个demo
imageimage是三个旅游景点
二、构造判断矩阵
由于准则层中的各准侧的权值可能不同，所以应该设置一个权重。
1、比较判别矩阵的元素意义
设现在要比较n个因子image对某因素Z的影响大小，采用两两比较建立比较判别矩阵image，xi与xj对Z的影响之比为aij。然后反过来xj与xi的影响之比为aji=1/aij。
2、比较判别矩阵的定义
image
3、关于比较判别矩阵元素的确定
使用数字1-9以及其倒数作为标度。
image
三、层次单排序及一致性检验
1、原理
判断矩阵A对应于最大image得W，经归一化即为同一层次相应元素对于上一层次元素相对重要性的排序权值。称为层次单排序
image
image
因此，我们通过image来检验A是否为一致矩阵，当image比n大的越多，A的非一致性程度也就越严重，所以我们可以通过这种方法来检验一致性。
2、步骤
（1）计算一致性指标CI
image
（2）查询平均随机一致性指标RI，对应n=1到9，RI值分别为
image
这是通过随机的方法生成的一组标准指标。
（3）计算一致性比例CR
image
当CR<0.1，认为矩阵的一致性是可以接受的。
四、层次总排序及一致性检验
image
1、说明
（1）A为上一层次（高的层次），B为当前层次
（2）a1,a2,a3……am为A层次的总排序权重。
（3）b1j……bnj是B层对Aj的单排序权重。
（4）从最高层到最底层
现求B层中各因素关于总目标的权重，即求B层各因素的层次总排序权重b1,b2……bn。就按照上图中的方法进行计算
到此，以上就是小编对于topsis模型的优缺点的问题就介绍到这了，希望介绍关于topsis模型的优缺点的2点解答对大家有用。
Amysql_youhua_articlehuaunyuan($article);
