刘老师我想问一下范德蒙德行列式在现实生活中的应用有哪些,同时还有它...
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一、刘老师我想问一下范德蒙德行列式在现实生活中的应用有哪些,同时还有它...
第2讲 范德蒙德行列式的几点应用
我们知道，n阶范德蒙德行列式
，
当这些 两两互异时， ．这个事实有助于我们理解不少结果．
例1 证明一个n次多项式之多有n个互异根．
证 设 有 个互异的零点 ，则有
， ．
即
这个关于 的齐次线性方程组的系数行列式
，
因此 ．这个矛盾表明 至多有n个互异根．
例2 设 是n个两两互异的数．证明对任意n个数 ，存在惟一的次数小于n的多项式 ：
，
使得 ， ．
证 从定义容易看出 的次数小于n，且 ，故只需证明唯一性即可．
设 满足
， ，
即
这个关于 的线性方程组的系数行列式
，
故 是唯一的，必须 ．
这个例子就是有名的拉格朗日插值公式．
例3 设 是 个复系数多项式，满足
，
证明 ．
证 设 ，取 ，分别以 代入，可得
这个关于 的齐次线性方程组的系数行列式
，
因此 ．
例4 设n是奇数， 是 个复系数多项式，满足
，
证明 ．
证 注意到当n是奇数时，
，
可按照例3的思路完成证明．
例5 设A是个n阶矩阵，证明A的属于不同特征值的特征向量线性无关．
证 设 是A的两两不同的r个特征值，非零向量 适合
， ，
假设
，
那么有
， ．
即
，
注意到
，
必须 ，于是 ，这证明了 线性无关．
例6 计算行列式
，
其中 ．
解 注意到下面的等式：
即得
．
例7 计算行列式
，
其中 ．
解 直接利用例6可得
．
例8 设 是正整数，证明n阶行列式
能被 整除．
证 直接运用例6、例7可得
能被 整除．
例9 计算n阶范德蒙德行列式
，
其中 ．
解 注意到 当且仅当 ，可得
，
由此 ， 的模 ．现在来确定 的幅角：令 ， ，故
对于上面考虑的j和k，总有 ，这意味着 ，因此
，
由此可设 ，其中
这样就求得了 ．
例10 证明缺项的n阶范德蒙德行列式
证 按 的第一行展开行列式，可得
例11 设有n个常数 ，n个两两不同的常数 以及由x的恒等式
定义的一个多项式 ．对于一个已知多项式 ，定义另一个多项式 ，它为上面的恒等式中将 分别代之以 所得的x的恒等式所确定．证明用多项式 除以 所得的余式为 ．
证 由于n阶范德蒙德行列式
，
按题设这里的行列式的最后一列展开，可知 是个次数小于n的多项式．从条件知对每个 ，
，
必须 ， ．由拉格朗日插值公式知
．
同理可求出由恒等式
所定义的多项式
．
设 ，其中 的次数小于n．为证 ，只需证明 时， 即可．事实上，对每个 ， 是易见的，因此结论成立．
例12 设 在 上连续，在 内存在2阶导数，证明在 上有
，
这里 ．
特别地，存在 ，使
．
证 在 上构造函数
，
则 在 上连续，在 内存在2阶导数．因 ，由中值定理存在 ，使 ，故再运用一次中值定理，存在 ，使 ，即
，
展开行列式即得
．
特别地，取 ，则有相应的 ，使上式成立，即
，
化简即得
．
例13 设 在 内存在 阶导数， ．证明存在 ，使
．
证 在 上构造函数
，
在 内存在 阶导数．因 ，反复利用微分中值定理，存在 ，使 ，即
．
按第一行展开行列式得
，
左边按最后一列展开行列式，化简可得
．
例14 设 在 内存在n阶导数，这里 ．证明存在 ，使
．
证 置 ， ，则 ．于是例14在本质上是例13的特殊情形．
二、【求助】范德蒙的行列式
关于范得蒙(Vandermonde)行列式 |1 1 1 ........... 1 | |a1 a2 a3 ............ an | |a1^2 a2^2 a3^a .......... an^2| |. . . . | = d |. . . . | |. . . . | |a1^(n-1) a2^(n-1) a3^(n-1) ... an^(n-1)| 行列式形式也可写成（更美观） |1 a1 a1^2 ... a1^(n-1)| |1 a2 a2^2 ... a2^(n-1)| | . . . . | | . . . . | | . . . . | |1 an an^2 ... an^(n-1)|
按第二方式写出的行列式第i行第j列元素可表示为 a（ij)=ai^(j-1) 这样的行列式就是，其结果为: II(ai-aj) 1<=j<i<=n (‘<=’指小于等于，‘II’指连乘） 范德蒙德行列式为零的充分必要条件是a1,a2,a3...an这n个数中至少有两个相等。 范德蒙德行列式的应用主要在线性代数中求解行列式的值以及计算的解方面。
关于范得蒙 范德蒙（1735-1796），法国数学家。范德蒙在高等代数方面有重要贡献。他在1771年发表的论文中证明了多项式方程根的任何对称式都能用方程的系数表示出来。他不仅把行列式<span class=GramE>应用于解线性方程</span>组，而且对行列式理论本身进行了开创性研究，是行列式的奠基者。他给出了用二阶子式和它的来展开行列式的法则，还提出了专门的行列式符号。他具有的预解式、置换理论等思想，为群的观念的产生做了一些准备工作。一种特殊的行列式以他的名字命名，但数学界有不同的看法，因为这一行列式并未出现在他的论文中。
到此，以上就是小编对于范德蒙德行列式的应用的问题就介绍到这了，希望介绍关于范德蒙德行列式的应用的2点解答对大家有用。
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