请问一次同余式所有整数解的求法?需要计算公式.?
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一、请问一次同余式所有整数解的求法?需要计算公式.?
请问一次同余式所有整数解的求法?需要计算公式.答：
首先,ax==b mod m
与不定方程ax=b+ym完全等效.
如果它们有公约数,或约去,求解后,再转化为模m的形式.如x==r mod n
转为x==r+n*i mod kn, i=0,…,k-1.
如果gcd(a,m) |b不成立,则无解.
公式一：
显然,如果有解,约去公约数,则必然可转化为gcd(a,m)=1的情况.此时很容易得到公式解.
依欧拉定理, gcd(a,m)=1,则a^Φ(m)==1 mod m.于是a*a^(Φ(m)-1)==1 mod m,即
x==a^(Φ(m)-1) mod m.
这种方法在巧妙的编程方式下,用电脑计算,不失为一种好手段.通常是将Φ(m)-1二进制化,再将多个积项取余,求积.用其他数制或其他思路计算,也行.如何方便如何算.利用洪伯阳同余表示,手算也较方便.
思路二：这种思路我是独创.用熟了很节省书写,思路也很明确.总之很便捷.
利用同余思想,在不定方程两边同时取余,再将倍数集中得到系数减小的另一不定方程.（与原式比较,得到的比较式方程,可以反映出两者的简单的系数关系.）
如此一直到可以看出特解为止.再根据比较式回代.
更多内容,请百度搜索：
wsktuuytyh 同余式
或
wsktuuytyh 不定方程
思路三：
ax==b mod m,gcd(a,m)=1
将模数分解为m=m1*m2*...*mn,（互质(互素)的多个因数）以它们分别为模解出结果.再逆求同余式组.逆解同余式组也不难.对于中国剩余定理,我有简化方案.
可百度搜索：wsktuuytyh 模积计数法
对m为大合数的情况,这种逆求法有一定用处.
以下谈m为质数或其幂的情况
简单的情况,可以取一个与m互素的数k, 得到kax==kb mod m
而ka mod m为一个较小或较好的值,简化为 ux==kb==v mod m
再设法使as-ut==1,再将s,t作用于两个同余式,即得解答.
当然也可以得到另外两个,或多个类似的同余式,让他们线性叠加,使左边x的系数为1即得解.
利用洪伯阳表示来描述和计算,可以使这个过程十分简洁和高效.可以利用比例的性质、带分数的性质来处理同余式.
进一步利用矩阵,可以将线性叠加描述得更简洁.
相关资料,可搜索
wsktuuytyh 洪伯阳 带分数
对于不太复杂的情况,用洪伯阳表述,不用线性叠加的手段就可以方便的求得解答.,6,ax+b≡0(mod 7)（如被7整除）
设x=7K+m
a(7K+m)+b≡0
∵7Ka≡0(mod7)
只要am+b≡0
在已知a与b的条件下，求出m等于何值时
am+b≡0成立，这就解出了所有被7整除的整数解,0,
二、数论:求同余式的解1215x≡560(mod 2755)
求同余式的解1215x≡560(mod 2755)
解：为方便打字，以下用==借指同余号≡
引子： 将mod 2755 与 在式中引入一个平移数量 2755k (k为任意不定整数) 相当。
于是原方程等效于 1215x == 560 +2755 k
等效于 1215x+2755k == 560
即 mod 2755 代表一种运算， 表示在 等式两边同时 与 2755的任意倍数作代数和，必有一个倍数使等式成立，或使==号两边为模 2755的 零同余类。
在这个意义下， ==与=可以混用了。从而,同余式具有与等式完全相类似的性质。见我的相关答题。
以下解 1215x = 560 +2755k
即 243x = 112 + 551k
两边模 243, 将 243的倍数集中得
243 y=112 + 65 k (两式相比较，得 x-y=2k, 这个括号内的过程可以心算, 列出是为了便于人工心算)
同上理，两边模 65，将65的倍数集中得
-17y= -18+ 65 m (相比较得4y=2+k-m)
同上理，模 17，得
17z =-1-3m (相较得 -y-z=-1+4m)
取m= -6, z=1, 回代， y=24, k=88, x=176+24=200
综上述： x== 200 mod 551
改写为 以 2755 为模，即 x=200+551t mod 2755, t=0,1,2,3,4 mod 2755
析： 我发现了这种解题方法，认为其程序化很强，并易于计算。请考虑推广之。
到此，以上就是小编对于同余式计算的问题就介绍到这了，希望介绍关于同余式计算的2点解答对大家有用。
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